Doctorado en Matemática

Matemáticas Aplicadas

Nuestra investigación cubre las áreas de análisis numérico, problemas inversos y optimización. En el análisis numérico nos enfocamos en ecuaciones diferenciales parciales que típicamente representan problemas de la física matemática y electromagnetismo. Estudiamos métodos numéricos y sus propiedades de aproximación, además de problemas de álgebra lineal numérica relacionados. Actualmente cubrimos métodos de elementos finitos y de frontera, métodos de pasos en el tiempo (time-stepping), y métodos de Petrov-Galerkin para problemas perturbados singularmente. Un tópico particular es el desarrollo de algoritmos numéricos rápidos. Estos incluyen el análisis de su precisión y eficacia, y estrategias de pre-acondicionamiento y compresión para sistemas grandes de matrices. En problemas inversos el objetivo es una reconstrucción indirecta de parámetros inciertos usando mediciones de una cantidad afectada por dichos parámetros. Modelos usuales incluyen ecuaciones diferenciales o integrales, donde las incógnitas son parámetros de la ecuación, las mediciones corresponden a conocimiento parcial de la solución, y el objetivo es determinar los coeficientes desconocidos. En tales escenarios, el estudio de los problemas inversos recae fuertemente en técnicas de análisis funcional y sus aplicaciones, incluyendo ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones integrales y/o teoría de operadores. Un problema de optimización busca encontrar la mejor solución (bajo cierto criterio) sobre un conjunto dado de alternativas. Nos enfocamos en el desarrollo de nuevas técnicas algorítmicas y desarrollos de cotas inferiores para tales problemas. Dependiendo del tipo de problemas las técnicas usadas tienen una naturaleza continua o discreta, incluyendo complejidad computacional, análisis convexo, matemáticas discretas y diseño de algoritmos. El área encuentra múltiples aplicaciones, en particular para problemas que vienen de las ciencias de la computación, investigación de operaciones, economía e ingeniería.

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Se analizan la existencia, unicidad y regularidad de las soluciones de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. Se estudian también la formación de singularidades y patrones, la evolución de ciertos objetos geométricos, y la concentración de energía en estructuras localizadas. Se busca en algunas ocasiones modelar el comportamiento de un fenómeno físico por medio de sistemas de ecuaciones, o bien simplificar modelos ya existentes por medio de aproximaciones rigurosas y análisis asintóticos. El énfasis está puesto en ecuaciones que requieran del análisis no lineal.

Geometría

Estudiamos las propiedades geométricas de las variedades desde distintos puntos de vista. Se estudia la rigidez de las variedades riemannianas frente a ciertos objetos geométricos, así como la evolución de estas variedades bajo diversos flujos. También se estudian aspectos geométricos y analíticos de funciones univalentes y localmente univalentes en dominios del plano complejo, transformaciones armónicas del plano y su relación con superficies mínimas, así como a generalizaciones a varias variables complejas. Por otro lado, se estudia la geometría de las superficies algebraicas y sus espacios de móduli, y las superficies K3 en relación a categorías derivadas. Las principales herramientas provienen del análisis complejo, la geometría diferencial y la geometría algebraica y las ecuaciones diferenciales.

Geometría Algebraica y Aritmética

Nuestro grupo se enfoca en geometría algebraica, teoría de números, y en las interacciones entre estas importantes áreas en el marco de geometría aritmética. Estudiamos la geometría de superficies algebraicas especialmente de tipo general, con énfasis en su geografía y en la compactificación de Kollár-Shepherd-Barron–Alexeev de sus espacios de móduli, desarrollando nuevas herramientas explícitas en teoría de Mori. A su vez atacamos problemas en superficies sobre existencia de curvas de género bajo junto con su potencial hiperbolicidad, en el sentido de inexistencia de curvas enteras, todo esto motivado por temas de origen tanto geométrico como aritmético. También investigamos puntos racionales y algebraicos en variedades algebraicas por medio de geometría de Arakelov, métodos de equidistribución, representaciones de Galois, aproximación Diofantina, teoría analítica de números y formas automorfas. Estas herramientas nos permiten desarrollar métodos nuevos en la aritmética de puntos en variedades de Shimura y curvas elípticas, con aplicaciones a temas fundamentales como dinámicas de operadores de Hecke, puntos especiales, rangos de curvas elípticas y las conjeturas de Vojta. Además, nuestro grupo desarrolla aplicaciones de todo lo anterior en conexión con lógica matemática, en el contexto del décimo problema de Hilbert. Nuestro equipo mantiene fuertes redes internacionales y genera actividades relevantes en el área. Estas incluyen seminarios, conferencias y un flujo constante de invitados provenientes de otros centros de investigación. En particular, aspiramos ofrecer un ambiente de excelencia para acoger a jóvenes que busquen especializarse en estos temas.

Probabilidades

Los principales temas de investigación en el área de probabilidad son ecuaciones diferenciales parciales estocásticas, la ecuación de KPZ, sistemas de partículas, medios aleatorios, marchas aleatorias en medios aleatorios, y probabilidad no conmutativa.

Sistemas Dinámicos

Sistemas Dinámicos es una importante área de la matemática. Su origen puede situarse con los trabajos de mecánica celeste de Poincaré a fines del siglo XIX. El principal objetivo es comprender el comportamiento cualitativo de sistemas determinísticos. Las técnicas, preguntas son variadas y van desde el uso de métodos probabilísticos, a técnicas puramente topológicas. Es una disciplina estrechamente relacionada con la física. Por ejemplo, los métodos e ideas de mecánica estadística han influenciado el área. Por otra parte, sistemas dinámicos ha encontrado aplicaciones en las más diversas áreas de la matemática, desde la teoría de números a las ecuaciones en derivadas parciales. Las aplicaciones son variadas, desde las finanzas a la sociología. Partes de la teoría de sistemas dinámicos como fractales y caos ha recibido gran atención mediática en el último tiempo. En la Facultad existe un grupo con diversos intereses, con fuertes redes internacionales, con seminarios, congresos e invitados que lo hacen un lugar perfecto para especializarse en este tema.

Física-Matemática

Muchos modelos de la Física Matemática moderna requieren el manejo transversal de herramientas matemáticas como la Geometría no Conmutativa, Geometría Diferencial, Teoría de Representación, Teoría de Operadores, Teoría Espectral, EDP, Probabilidades, Funciones Especiales. En el grupo de Física Matemática se estudia una amplia gama de temas. Dichos temas incluyen desde la Teoría de Dispersión (Scattering theory) hasta la Mecánica Estadística pasando por la Teoría de Resonancias, el estudio de los Operadores de Schrödinger, Hamiltonianos magnéticos, Operadores Aleatorios, Sistemas Ergódicos, Sistemas Cuánticos no Autónomos, Sistemas Cuánticos Abiertos, Sistemas Integrables, Sistemas Cuánticos Topológicos y varios otros.

1. Estar en posesión del grado académico de Licenciado en Matemáticas o de un título o grado académico equivalente al de Licenciado en Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Chile. En caso de poseer grados académicos de origen extranjero, estos deberán ser equivalentes a los citados anteriormente y deberán venir legalizados desde el país de origen.
   Los documentos emitidos en países suscritos a la Convención de Apostilla de la Haya se recibirán apostillados. En el caso de aquellos documentos emitidos en países no suscritos a la Convención de Apostilla de la Haya, deberán ser legalizados en el Consulado de Chile del país de origen, para su posterior legalización y traducción (cuando proceda) en el Ministerio de Relaciones Exteriores de Chile.
2. Acreditar antecedentes académicos y profesionales que den cuenta de la formación y experiencia previa del postulante, acordes a los requerimientos formativos del programa (Currículum vitae
   del postulante).
3. Presentar una declaración escrita de propósitos que explique el interés del postulante en el programa y sus objetivos académicos para proseguir estudios de doctorado, así como los compromisos de
   dedicación que suscribe. (Carta de intención exponiendo intereses y motivaciones).
4. Acreditar comprensión del idioma inglés, suficiente para entenderlo en forma escrita, a un nivel que les permita leer artículos, libros y acceder a los documentos y bases de datos internacionales. En caso de no poseer una certificación que lo acredite, el alumno deberá rendir un examen de diagnóstico con el fin de evaluar su nivel de idioma y, si fuese necesario, inscribirse en los cursos indicados
   ofrecidos por la Dirección de Doctorado de la Vicerrectoría de Investigación para lograr las competencias exigidas para la obtención del grado académico de doctor.
5. Certificado de ubicación o ranking del alumno entre los graduados de los últimos 5 años o el percentil en que se encontró al momento de obtener grados anteriores.
6. Al menos dos cartas de recomendación.

Además, los estudiantes del doctorado deberán realizar otras actividades y cursos obligatorios sin créditos para la obtención del grado de Doctor en Matemática:

• Un Examen de Calificación Escrito. Este examen escrito deberá ser rendido durante el primer año en que los alumnos estén inscritos en el programa de Doctorado.
• Un Examen de Candidatura Oral.
• Actividad de Seguimiento.
• Tres Talleres de Habilidades Transversales, uno de los cuales deberá ser de naturaleza ética.
• Certificar el dominio del idioma inglés en nivel avanzado (ALTE 3) y con aplicación en ámbitos académicos.
• Ser el autor principal en al menos un artículo científico en proceso de revisión en una revista o libro de corriente principal.
• Realizar una estadía/pasantía de investigación en el extranjero con equipos que trabajen temas atingentes a su tesis.